महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य (रेलवे गणित)

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21. राजेश के पास 180 लीटर तेल A और 220 लीटर तेल B है। वह कई एक समान कंटेनरों को दोनों प्रकार के तेलों से इस तरह से भरता है कि प्रत्येक कंटेनर में केवल एक प्रकार का तेल ही भरा होता है, और सभी कंटेनर पूर्णतया भर जाते हैं। राजेश द्वारा प्रयुक्त प्रत्येक कंटेनर का अधिकतम आयतन (लीटर में) कितना हो सकता है, ताकि राजेश के पास मौजूद दोनों प्रकार के संपूर्ण तेल को इन कंटेनरों में भरा जा सके? [Group D 08/09/2022 ( Afternoon )]

Correct Answer: (b) 20
Solution:

180 और 220 का H.C.F = 20
इसलिए, कंटेनर का अधिकतम आयतन = 20 लीटर

22. (x⁴ – y⁴), (x⁸ – y⁸) और (x² – y²) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए। [Group D 08/09/2022 ( Evening )]

Correct Answer: (a) (x – y)(x + y)
Solution:

(x⁴ - y⁴), (x⁸ - y⁸) और (x² - y²)
⇒ x⁴ - y⁴ = (x² - y²)(x² + y²)
= (x + y)(x - y)(x² + y²)
= (x⁸ - y⁸ = (x⁴ - y⁴)(x⁴ + y⁴)
= (x² - y²)(x² + y²)(x⁴ + y⁴)
= (x + y)(x - y)(x² + y²)(x⁴ + y⁴)
⇒ x² - y² = (x + y)(x - y)
इस तरह, महत्तम समापवर्तक (HCF) = (x + y)(x - y)

23. किन्हीं दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए [Group D 09/09/2022 ( Evening )]

Correct Answer: (d) 1
Solution:

किन्हीं दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक हमेशा 1 होता है।

24. निम्न में से कौन सा सह-अभाज्य संख्याओं का युग्म है [Group D 12/09/2022 ( Afternoon )]

Correct Answer: (a) 81,16 
Solution:

ऐसी संख्या का एक युग्म जिसका HCF, 1 है वह सह-अभाज्य संख्याओं का युग्म कहलाता है
81 और 16 का HCF = 1
इसलिए, विकल्प (a) सही उत्तर है।

25. सबसे बड़ी संख्या जो 1876, 12503 और 6877 को विभाजित करने पर क्रमशः 1, 3 और 2 बचते हैं, वह संख्या ____ है। [Group D 15/09/2022 ( Morning )]

Correct Answer: (b) 625
Solution:

1876 - 1 = 1875,
12503 - 3 = 12500 और 6877 - 2 = 6875
1875, 12500 और 6875 का H.C.F = 625
इसलिए 625 सबसे बड़ी संख्या है जो 1876, 12503 और 6877 को क्रमशः 1,3 और 2 छोड़कर भाग देता है

26. एक किसान एक बगीचे में तीन अलग-अलग प्रकार के पौधे समान संख्या में लगाता है। एक प्रकार के सभी पौधे एक आयत के रूप में लगाए जाते हैं, जिनमें से किसी भी आयत में एक से अधिक प्रकार के पौधे नहीं लगाए जाते हैं, और किसी भी प्रकार का कोई भी पौधा शेष नहीं बचता है। सभी पौधे लगाने के बाद, पौधे A वाले आयत में 70 पंक्तियाँ थीं, पौधे B वाले आयत में 28 पंक्तियाँ थीं, और पौधे C वाले आयत में 42 पंक्तियाँ थीं। बगीचे में किसान द्वारा लगाए गए प्रत्येक प्रकार के पौधों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए। [Group D 16/09/2022 ( Afternoon )]

Correct Answer: (c) 420
Solution:

प्रत्येक प्रकार के पौधों की न्यूनतम संख्या = (28,42,70) का L.C.M = 420

27. मान लीजिए R वह सबसे बड़ी संख्या है जिसे 41, 71 और 91 से भाग देने पर समान शेष बचता है। R और 45 का LCM ज्ञात कीजिए। [Group D 20/09/2022 ( Morning )]

Correct Answer: (b) 90
Solution:

(91 - 71), (71 - 41), (91 - 41) का H.C.F 20, 30, 50 का H.C.F, 10 है
अब, 10 और 45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) = 90

28. ऐसी दो संख्याओं पर विचार कीजिए, जिनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) का योग 504 है, और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) का अंतर 456 है। यदि इन दोनों संख्याओं में से एक 96 हो, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए। [Group D 27/09/2022 ( Afternoon )]

Correct Answer: (c) 120
Solution:

LCM + HCF = 504 (i) &
LCM - HCF = 456(ii)
समीकरण (i) और समीकरण (ii) को हल करने पर, LCM = 480 & HCF= 24
हम जानते हैं कि,
LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या
⇒ 480 × 24 = 96 × दूसरी संख्या
⇒ दूसरी संख्या = 120

29. भिन्नों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गणना अंशों का LCM / हरों का HCF के रूप में की जाती है। 5/6, 6/5, और 3/2 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए। [Group D 28/09/2022 ( Afternoon )]

Correct Answer: (d) 20
Solution:

5/6 , 6/5 और 3/2
‘लघुत्तम समापवर्त्य = अंशो का LCM / हरो का HCF = 30

30. 5, 15 और 20 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) का अनुपात ज्ञात कीजिए। [Group D 30/09/2022 ( Morning )]

Correct Answer: (c) 12 : 1
Solution:

5, 15 और 20 का LCM = 60
5, 15 और 20 का HCF = 5
LCM और HCF का अनुपात = 60 : 5 = 12 : 1